Saltar a contenido

Diseños de superficie de respuesta

Motivación

Cuando el screening ya encontró los pocos factores que importan, el objetivo cambia de cuáles a cuánto: localizar el óptimo y mapear la respuesta cerca de él. Esto necesita un modelo cuadrático, que necesita al menos tres niveles por factor. Los dos caballos de batalla son Box-Behnken y Central Composite.

Teoría

El modelo de superficie de respuesta es el cuadrático completo

\[ y = \beta_0 + \sum_i \beta_i x_i + \sum_{i<j} \beta_{ij} x_i x_j + \sum_i \beta_{ii} x_i^2 + \varepsilon . \]

Box-Behnken (BBD) coloca puntos en los puntos medios de las aristas del cubo más puntos centrales — nunca en los vértices. Esto evita combinaciones extremas de factores (a menudo inviables o costosas) y mantiene bajo el número de corridas; requiere \(\ge 3\) factores.

Central Composite (CCD) aumenta un factorial de dos niveles con puntos estrella (axiales) a distancia \(\pm\alpha\) y puntos centrales. La elección de \(\alpha\) fija una propiedad geométrica:

  • rotable — varianza de predicción constante a igual distancia del centro, \(\alpha = (2^n)^{1/4}\);
  • ortogonal — bloques ortogonales;
  • faced — \(\alpha = 1\) (estrellas sobre las caras, solo tres niveles).

En doekit

import doekit as ed

bb = ed.box_behnken({"temp": (20, 80), "ph": (3, 9), "conc": (0.1, 0.5)})
cc = ed.central_composite(3, alpha="rotatable")
cc.metadata["alpha_value"]        # distancia estrella α

# ambos usan por defecto un modelo cuadrático completo:
fit = ed.fit_linear_model(bb, y)  # y = respuestas medidas

Ver también